椭圆曲线

文章详细介绍了BLS12-381椭圆曲线的参数化和实例化过程，包括如何计算其基础域模数和子群，以及构造效率的双线性配对函数的步骤。尤其关注了适合zk-SNARK使用的结构和性能要求，提供了具体的生成器和序列化形式的实现细节。

本文介绍了椭圆曲线在加密和数字签名中的应用，详细阐述了公钥和私钥基于离散对数问题的生成原理，以及椭圆曲线集成加密方案（ECIES）和椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）的工作机制。文章强调椭圆曲线群运算在保障加密和签名安全性中的核心作用，并指出哈希函数等进阶主题将在后续讨论。

Constantine是一个高性能密码学库，专注于区块链协议和零知识证明系统。它提供常数时间实现的密码学原语，支持多种椭圆曲线和协议，包括以太坊BLS签名、KZG承诺等，并提供Nim、C、Rust、Go等多种语言的接口。该库旨在提供快速、紧凑和强化的椭圆曲线密码学解决方案。

本文探讨了zkSNARK技术在Groth16协议中的可塑性攻击漏洞，解释了攻击者如何通过修改证明中的椭圆曲线点来生成新的有效证明，并提供了相关的代码示例。

本文是密码学系列文章的一部分，重点介绍了基于椭圆曲线的加密协议，包括密钥交换、承诺方案、签名、零知识证明和可验证随机函数等。文章通过清晰的示例和图示，详细解释了这些协议的原理和实现方法。

开始鼓捣之前，我希望我知道的。 近年来，椭圆曲线BLS12-381逐渐火了起来。许多协议都将其应用到了数字签名和零知识证明中：Zcash、Ethereum 2.0、Skale、Algorand、Dfinity、Chia 等等。 不幸的是，现有的关于 BLS12-381 的资料里充满着晦涩的咒语，比如

哈希到曲线函数的技术现状，在secp256k1椭圆曲线上的应用，以及一般的哈希到曲线算法背后的一些安全考虑和性能优化。

这篇文章为初学者提供了关于椭圆曲线密码学（ECC）的入门介绍，包括基本概念、操作和实际应用示例。文章通过定义关键术语、解释椭圆曲线的数学原理、讲解ECC的单向性以及Diffie-Hellman密钥交换算法，帮助读者理解ECC如何用于保护信息安全。整体内容系统且易于理解。

本文深入探讨了椭圆曲线上的有理点问题，首先通过圆上的有理点引出寻找有理点的概念，然后讨论了椭圆曲线有理点的存在性和群结构，以及Mordell-Weil定理，提出了确定椭圆曲线秩的挑战，并介绍了BSD猜想以及L-函数在解决该问题中的应用。文章旨在加深对椭圆曲线理论的理解，为后续学习配对技术打下基础。

本文详细介绍了以太坊预编译合约的九种类型及其应用场景，包括椭圆曲线数字签名恢复、哈希方法、内存复制和椭圆曲线数学运算等，并提供了如何使用Solidity调用这些预编译合约的示例代码。

文章详细介绍了如何从公钥生成以太坊地址，包括椭圆曲线公钥的生成、使用Python代码示例，以及使用掷硬币或骰子生成私钥的方法。同时，文章还深入探讨了secp256k1曲线的数学原理。

椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）是区块链密码学技术中常见的数字签名之一,其在加密货币、密钥身份认证等方面已被广泛应用。然而当前的区块链ECDSA算法灵活性较低、匿名性较弱且分散性不高,性能相对高效的应用实例也十分有限。基于哈希证明系统,文章提出一种适用于区块链的两方椭圆曲线数字签名算法。通过给定签名算法的数理逻辑及其安全模型,融入区块链进行测评,证明了方案的可行性。最后,对签名方案的安全性进行了分析,证实该方案无需交互性安全假设便可在零知识性的基础上减少通信开销。

本文介绍了椭圆曲线在密码学中的应用，解释了椭圆曲线如何通过特定的群操作（如弦切线规则）形成密码学所需的数学结构。文章详细讨论了椭圆曲线群的定义、有限域上的点运算、群单位元的引入以及点加倍操作，并指出这些数学结构为加密和数字签名提供了难以破解的难题基础。

椭圆曲线密码学的应用：密钥交换与信息签名

本文详细介绍了高级密码学中的基本概念，包括群、有限域、椭圆曲线和配对。这些概念在设计和实现数字签名方案、多方计算（MPC）和零知识证明（ZKP）等高级协议中起着核心作用。文章通过数学定义、属性和示例，帮助读者深入理解这些密码学原语。