文章介绍了ZK-SNARKs中使用的可信设置机制，详细解释了如何在保密值上计算多项式，并提供了Python代码示例。

本文探讨了 Circom 中的 alias bug 及其潜在安全隐患，介绍了如何通过溢出特定的域元素大小（p）来伪造证明。文中给出了该漏洞的示例代码，并介绍了如何通过严格的 Num2Bits 和 Bits2Num 函数，使得编码的二进制数组不会超过 p，从而避免此类攻击，同时还描述了挑战中的漏洞及其利用方式。

本文深入探讨了 Circom 中的 <-- 操作符的一个潜在漏洞，展示了如何通过创建伪造的见证文件来利用这一漏洞，从而违背开发者对电路期望的假设。在详细的步骤中，介绍了生成有效证明的过程，以及如何修改二进制见证文件以实现攻击。此漏洞的理解对于开发安全的电路至关重要。

本文详细介绍了椭圆曲线加法在实数域上的工作原理，通过群论的角度解释了椭圆曲线点的加法操作，并展示了如何在椭圆曲线上进行点加法的具体公式和几何解释。文章还包括了代码示例和数学公式，深入探讨了椭圆曲线的代数性质。

文章详细介绍了有限域上的椭圆曲线，包括它们的绘制、数学性质以及在密码学中的应用。通过多个示例和代码，展示了如何生成和操作这些曲线，并解释了其与有限域的循环群特性。

本文详细介绍了如何将R1CS（Rank 1 Constraint System）转换为QAP（Quadratic Arithmetic Program），并通过Python代码演示了实现过程，包括有限域算术、多项式插值等关键步骤。

本文详细介绍了Groth16零知识证明算法的原理、实现及其应用，包括可信设置、证明生成和验证的步骤，并讨论了防止伪造证明的方法以及算法中的安全问题。

本文详细介绍了如何在可信设置的基础上评估二次算术程序（QAP），并解释了如何在不泄露证据的情况下证明QAP的满足性，使用恒定大小的证明。同时还涉及了R1CS、椭圆曲线配对等技术的详细实现。

文章详细介绍了二次算术程序（QAP）的概念及其在零知识证明中的应用，特别是如何通过拉格朗日插值将Rank 1约束系统（R1CS）转换为QAP，并通过Schwartz-Zippel引理在O(1)时间内验证QAP的等式。

Solidity 的try/catch 语法和常见的语言中的表现不一样，try { } 块中的代码错误是无法被catch 的，这一点要小心要非常小心。