ECC

通过一天的交流学习大概弄清了KZG10与Pairing的勾迹关系，对PCS也有了更进一步认识，这里记录一下它们之间的逻辑关系。Thanks感谢@KurtPan博和@miles的热心交流讨论，让我重新认识了“椭圆曲线group上的标量乘法”与“椭圆曲线group上的元素乘法

Besu Ethereum 客户端在处理椭圆曲线 alt_bn128 的 EIP-196/EIP-197 预编译合约时存在共识问题，版本 25.2.2 受此影响。攻击者可以构造一个点，该点位于正确的子群中但实际上并不在曲线上，从而绕过验证。该问题已在版本 25.3.0 中得到修复。

本节主要说椭圆曲线的背景及基本性质。

本节介绍如何让椭圆曲线点的坐标离散化。

本文详细介绍了Groth16零知识证明算法的原理、实现及其应用，包括可信设置、证明生成和验证的步骤，并讨论了防止伪造证明的方法以及算法中的安全问题。

本文为同源密码学提供数学基础，介绍同源（isogenies）的定义、性质（如可分离性、度）、自同态、j-不变量、对手同源和挠点等概念。文章从椭圆曲线和群论出发，解释有理映射如何形成群同态，以及同源如何通过核与子群一一对应。重点包括：同源是满射的群同态；自同态构成环；j-不变量用于分类同构曲线；可分离同源的度等于核的大小；每个同源有唯一对手同源，其合成是倍乘映射。这些概念是理解基于同源的密钥交换协议（如SIDH/SIKE）的前提，但需注意SIKE已于2022年被攻破。

本节将介绍如何使用离散域上椭圆曲线进行加密和解密过程。若果觉得阅读理解本文有困难，可以先参考之前的一些铺垫的历史文章。以后所说的椭圆曲线默认都是指**离散域上模素数的椭圆曲线**。

本节继续介绍离散域上椭圆曲线进行签名和验证过程，并加以实例说明。

本文主要介绍了VRF基于ECC公钥体制的证明验证过程， 基于前一文的基础，本篇顺理成章地说明了验证的内在逻辑，别的地方很难有这样的内在分析！

这篇文章详细介绍了椭圆曲线及其在现代加密中的应用，尤其是椭圆曲线密码学（ECC）。文章涵盖了椭圆曲线的基本概念、算术运算、在SageMath中的实现以及ECC在通信安全、数字签名和密钥交换中的应用。通过丰富的代码示例和可视化图表，读者可以深入理解椭圆曲线加密的理论基础和实践应用。

本文深入探讨了对于现代安全研究人员而言至关重要的数学领域，包括线性代数、非线性建模、抽象代数、数论和数理逻辑。文章详细解释了这些数学概念在密码学、零知识证明系统、DeFi 协议分析、漏洞挖掘和形式化验证中的应用，并提供了进一步学习的资源。

本文是Pieter Wuille撰写的libsecp256k1教程，深入介绍了secp256k1椭圆曲线背后的抽象代数基础（群、域、同构），详细阐述了曲线的数学定义（坐标域、群运算、标量乘法、GLV自同态、雅可比坐标），并全面解析了libsecp256k1库的实现架构，包括标量/域运算、模逆算法、点乘算法、测试与基准等。文章结构清晰，包含丰富公式、代码示例和测试向量，适合对椭圆曲线密码学及高效实现感兴趣的读者。

本文详细介绍了基于椭圆曲线的数字签名方案，包括ECDSA、EdDSA和Schnorr，分析了它们的原理、实现和应用，并比较了它们在区块链中的使用情况。

BLS12-381 是一种被广泛使用的配对友好的椭圆曲线，常用于数字签名和零知识证明。它的设计目标是提高效率，同时保证安全性。本文深入介绍了 BLS12-381 的历史、参数、实现原理及其在密码学中的应用，并提供了丰富的引用和资源供读者进一步学习。

KZG承诺方案是一种加密方法，用于安全地锁定多项式，使得后续验证者可在不透露秘密内容的情况下确认其存在。这种方案在以太坊生态中至关重要，尤其在与零知识证明的结合下，提高了区块链交易的隐私性和可扩展性。KZG的实现依赖于椭圆曲线和复杂的数学原理，适合在其升级过程中高效、安全地验证交易。